EXANI-II Relaciones de proporcionalidad Razones y proporciones.

EXANI-II 
Relaciones de proporcionalidad 
Razones y proporciones.

Problemas con razones.

Razón entre dos números 

Se define como la comparación entre dos cantidades, la cual se mide a partir de la división de dos valores: A/B o A:B y se lee ''A es a B''. Los términos son antecedente y consecuente 

A es antecedente y B es consecuente. El resultado de dicha división o cociente entre el antecedente y consecuente nos da como resultado un valor de razón. 

 Es importante que las cantidades que comparemos estén en la MISMA UNIDAD DE MEDIDA, si nos piden centímetros ambas tanto A como B deben estar en centímetros.

En el EXANI-II hay diferentes tipos de problemas con razones, los  principales serian los siguientes:

Problema 1. Cuando te piden la razón entre dos cantidades, la más sencilla de resolver.

1. En un super mercado hay 21 hombres y 14 mujeres. ¿Cuál es la razón entre el número de hombres 

y mujeres?

tenemos la razón a:b donde a es el numero de hombres y b es el número de mujeres
.

a = 21 hombres 

b = 14 mujeres 

La razón es 21:14 o 21/14 veintiuno entre catorce. Pero podemos simplificar esta fracción para llegar a su razón. Tal y como simplificamos en el tema FRACCIONES o podemos ser observadores y notar que ambos números son múltiplos del 7 directamente. 

21 = 3x7 

14 = 2x7

Eliminamos el 7 por ser términos semejantes y nos quedamos con 3/2 

La razón entre hombres y mujeres es de 3:2 

Problema 2. Cuando te dan la razón entre dos cantidades y el resultado entre las mismas, tu debes sacar estas cantidades. 

La edad de dos personas esta en relación de 2 es a 5. Calcular las edades si la suma entre ellas es de 35 años.

A:B = 2=5 

En este caso nos dan la razón y nosotros tenemos que sacar las edades. Para llegar a la respuesta correcta solo debemos multiplicar por un mismo número ambas partes tanto 2 como 5 quedaria 

2k:5k esto es igual a :   a=2k y b=5k y su suma nos da 35.

2k + 5k = 35 

7k= 35 

k = 35/7 (7 estaba multiplicando pasa del otro lado dividiendo) 

k = 5 

k no es la repuesta, falta multiplicar 2k y 5k para ahora sí obtener las respuestas:

2(5) = 10 años

5(5) = 25 años 

entonces 10 + 25 = 35 

Respuestas 10 y 25 años. 

Problema 3. De geometría; aquí es importante recordar como sacar perímetros y áreas y en base a eso resolver el problema como el ejemplo 2.

El perímetro de un rectángulo mide 32 cm. Si sus lados son como 3 es a 5. Calcular el valor del menor de ellos.

De nuevo ya nos dan razón tenemos que sacar valores. 

a = 3k 

b= 5k 

Nos indican que el perímetro es 32 ¿Como se calcula el perímetro de un rectángulo? fácil, sumamos sus lados tenemos dos lados chicos 2a y dos lados grandes 2b 

quedaria: 2a + 2b = perimetro 32 

ahora lo haremos con su razón 3:5 lo cual sería:

2(3k) + 2(5k) = 32                                                   

resolvemos:

6k + 10k = 32 

16k = 32 

k= 32/16

k= 2 

Ahora sacamos el número del lado menor y lado mayor:

3(2) = 6

5 (2) = 10 

El Lado menor tiene un valor de 6. 

Y también nos pueden dar 3 razones :

Problema 4.

Las edades de tres hermanas suman 27 años.  Si sus edades están a razón 2:3:4

¿Cuales son las edades de las hermanas?

Como en el ejercicio 2 tenemos que sacar cantidad. 

2k+3k+4k= 27 

9k=27

k= 3 

Ya que tenemos el valor de k, procedemos a sacar las edades multiplicando K por cada razón:

2(3) + 3(3) + 4(3) = 27

6 + 9 + 12 = 27

Las edades de las hermanas son 6, 9 y 12 años.

PROPORCIONES 

Es la igualdad entre dos o más razones. 

Se lee como a es a b como c es a d. Los puntos a y d son externos y los puntos b y c se llaman medios

Propiedades:

1) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a x d = b x c 

2) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los extremos dividido por otro MEDIO.

b = a x d / c 

3) En toda proporción un extremo es igual al producto de los medios divido por el otro extremo 

a = b x c/d 

Proporcionalidad directa.

Decimos que es una proporcionalidad directa cuando dos magnitudes crecen o decrecen al mismo tiempo en forma constante, por ejemplo si en una paletería, compramos 5 paletas por $25 pesos ¿Cuánto pagaríamos por 10 paletas? en este problema sabemos que entre mas paletas, más dinero es el que vamos a pagar, entre menos paletas compremos también sera menor el dinero que pagaremos por ellas. 

La proporcionalidad directa se caracteriza por formar una linea RECTA en una gráfica. 

Como en este ejemplo, a mayor distancia recorrida, mayor tiempo y viceversa.

PROPORCIONALIDAD  INVERSA. 

En el caso de una proporcionalidad inversa tendremos que mientras una magnitud crece la otra magnitud decrece en la misma proporción. Por ejemplo, si tenemos a 10 hombres arreglando una cochera tardan 12 horas ¿Cuanto tiempo le tomara a 16 hombres? en este caso a mayor número de hombres, menor será el tiempo que tardaran en arreglar la cochera, por lo cual, estamos hablando de una proporcionalidad INVERSA. 

Para resolver este tipo de problemas es muy importante leer y entender con que tipo de proporcionalidad tenemos. Acomodar las magnitudes que nos dan, si son kilos, seria kilos con kilos, costo con costo, etc. Una vez identificada la proporcionalidad y acomodadas las magnitudes  resolveremos el problema con una regla de tres simple para proporcionalidad directa lógico, sera regla de tres directa y para proporcionalidad inversa utilizaremos la regla de tres pero inversa. 

REGLA DE TRES DIRECTA.

REGLA DE TRES INVERSA. 

Haremos algunos ejemplos.

1. Para clavar un clavo de 1.5 pulgadas, se necesitan 4 golpes ¿Cuántos golpes se necesitaran para clavar 6 clavos de la misma medida?

Paso 1. Analizamos el problema, sabemos que para clavar un solo clavo se necesitan 4 golpes, nos piden la cantidad de golpes para clavar 6 clavos, lógicamente a mayor número de clavos, mayor número de golpes, por lo cual confirmamos que es un problema de proporcionalidad directa. Por cierto, la medida del clavo 1.5 pulgadas, solo es un distractor, al exani le gusta utilizar de estos distractores así que es importante tener una muy buena comprensión lectora. 

Paso 2. Como ya sabemos que es un problema de proporcionalidad directa, utilizaremos la regla de tres directa. Tenemos :

Clavos   Golpes

1               4 

6               x 

x = (6)4/1 

x= 24 / 1 

x = 24 golpes. 

Ejemplo 2. Si 10 hombres arreglan una barda en 12 horas, ¿Cuantas horas le tomara a 16 hombres?

Paso 1 . Analizamos el problema, en este caso lógicamente a mayor número de hombres menor será el tiempo que tarden entonces es un problema de proporcionalidad inversa. Utilizamos la regla de tres inversa. 

Paso 2. Resolvemos

HOMBRES   HORAS

10                      12 

16                       X 

x = 12 (10) / 16

x = 120 / 16 

x = 7.5 horas o 7 horas y 1/2